7. astea | Taylor azpiprogramaz (angelu txikiekin)

Brook Taylor Brook Taylor britainiar matematikaria 1685ean jaio eta 1731ean hil zen. Zientziaren arazo asko aztertu zituen eta 1715. urtean idatzi zuen Methodus incrementorum directa et inversa, bere lan garrantzitsuena, non kalkulu diferentziala eta funtzio deribatua definitu zituen. Liburu berean agertu ziren Taylorren seriea, diferentzia finituen bidezko kalkulua, ekuazio diferentzialen soluzio bereziak, zatikako integrazio-metodoa, etab. Taylor serie bidezko hurbilpena Taylor seriea funtzio batek x puntuaren inguruan hartzen duen baliora hurbiltzeko erabil daiteke, seriearen batugai zenbait bakarrik erabiltzen direnean; era honetan, errore bat sortzen da, funtzioaren balioarekin bat datorren seriea ez baita modu osotuan garatzen: (a=0 balioa denean, serieari MacLaurin serie deritzo) Funtzio esponentzialaren eta logaritmikoaren serieak ${\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}$ ${\displaystyle \ln(x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n+1}}$ Funtzio trigonometrikoen serieak ${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x}$ ${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x}$ ${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,{\mbox{ non }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$ Non Bs Bernouilliren zenbakiak diren.

Taylor segida aplikatu angelu jakin baten kosinua kalkulatzeko. Horretarako, gogoratu bi ariketa hauek:

• 4. astea | FOR-DO: Faktorialen batukariak
• 4. astea | FOR-DO: Berreturen batukariak

Klikatu irudi honen gainean eta grafikoki ikusiko duzu Taylor polinomioa kosinu funtzioarentzat:

---

Angelu baten kosinua Taylor-ren arabera honela kalkula daiteke: Non x radianetan emaniko angelua den.

Programa bat idatzi kosinua kalkulatuko duena aurreko segidaren N batugai erabiliz. Batugaien N kopurua ez da ezaguna, batugaiak aintzat hartuko dira azken batugaiaren balio absolutua 0.00001 baino txikiagoa izan arte adibidez (doikuntza hori teklatuaren bitartez emango du programaren erabiltzaileak).

Kasu honetan batukaria kalkulatzen duen azpiprogramak emaitza bakarra itzuli behar duelako funtzio baten bitartez programatuko dugu. Diogunez, azpiprograma hori funtzio bat izango da bere goiburukoa hauxe delarik:

function fnrKosinuaKalkulatu(rX, rDoikuntza: real): real ;

Sarrera: rX radianak (teklatuz irakurritako rAngelua graduak radianetara igarota)

Sarrera: rDoikuntza (gogoratu bertsio honetan doikuntza programa nagusian irakurtzen dela)

Programaren... ...honek x sarrerako angelua 0 eta Π/2 artekoa izan dadila Amaitzeko, programa osatu edozein angelurako, hots, sarrerako x angelua 2Π baino handiagoa denean ere, laguntza hemen.

1. Erabiliko den rDoikuntza prezisioa teklatuz irakurri (edo konstante ezagun bat izan dadila)
2. Lehenego koadranteko rAng angelua graduetan, teklatuz irakurri
3. Lehenego koadranteko rAng angelua radianetara igaro rX lortuz
4. rX angeluari dagokion rKos kosinua lortu Taylor bitartez (azken batugaia rDoikuntza baino txikiagoa)
5. Taylor bitartez lortu den rKos emaitza eta cos(rX) balioa pantailan erakutsi eta bi balioak elkar alderatu

Hauxe izan daiteke Programa Nagusia non rDOIKUNTZA konstante bat den eta fnrKosinuaKalkulatu() funtzioak prozesu errepikakorra barneratzen duen:

{-----------------------Programa Nagusia-----------------------}
var
   rGraduak: real;    (* angelua graduetan *)
   rX: real;          (* angelua radianetan *)
   rKos: real;
begin
   clrscr; 
   repeat
      write('Lehenengo koadranteko angelu bat eman gradutan: ');
      readln(rGraduak);
      if (rGraduak < 0.0) or (rGraduak >= 90.0) then
         writeln('Angelua 0.0 eta 89.999 artekoa izan dadila');
   until (rGraduak >= 0.0) and (rGraduak < 90.0);

   rX := rGraduak*2*PI/360;
   
   writeln(rGraduak:0:3, ' gradu = ', rX:0:5, ' radian');
   writeln;

   rKos := fnrKosinuaKalkulatu(rX);

   writeln('kos(', rX:0:3, ') = ', rKos:0:10);
   writeln('cos(', rX:0:3, ') = ', cos(rX):0:10);
   writeln;
   writeln('==============================');
   writeln('Edozein tekla sakatu amaitzeko');
   writeln('==============================');
   
   repeat until keypressed;
end.

 Laster emaitza osoa...